Oszthatósági szabályok
Fontos megállapítások (tételek):
– Bármely két páros természetes szám összege páros, bármely két páratlan természetes szám összege is mindig páros.
– Egy páratlan és egy páros szám összege mindig páratlan.
A páros számok 2-es maradéka 0.
A páratlan számok 2-es maradéka 1.
Egy összeg pontosan akkor páros, ha a tagok 2-es maradékainak összege páros, azaz az összeg 2-es maradéka 0.
Ugyanez az megállapítás igaz bármely természetes szám esetén:
Ha egy összeg minden tagja osztható egy természetes számmal, akkor az összeg is osztható azzal a számmal.
Az összegben egyébként elég a tagok maradékait vizsgálni. Ugyanezek a megállapítások igazak a természetes számoknál a különbségek oszthatóságának vizsgálatakor, ekkor azonban a maradékok különbségére kell koncentrálnunk.
Így például, ha meg akarom tudni, hogy 572 osztható-e 8-cal, fel kell bontanom az 572-öt olyan számokra, amelyeknél ismerem a 8-as maradékokat:
572 = 560 + 12 (, mert 8 \(\cdot\) 7 = 56 és 56 \(\cdot\) 10 = 560 is osztható 8-cal)
572 nem osztható 8-cal, mert 560 osztható 8-cal, a maradék 0, de 12-nél 4 a maradék.
Másik út lehet (néha ez a gyorsabb), ha a számnál egy nagyobb számot találunk és megnézzük, hogy a különbség osztható-e 8-cal:
8 \(\cdot\) 8 = 64, ezért a 640 is osztható 8-cal. 640 – 572 = 68, ami nem osztható 8-cal, ezért az 572 sem osztható 8-cal.
Azonban ekkor megtudtuk legalább, hogy 572 nyolccal való osztásakor 4 lesz a maradék. Ezek után nézzük meg, milyen szabályokat tudunk megalkotni!